Complexity of positional games on graphs
Complexité des jeux positionnels sur les graphes
Résumé
This Ph.D. thesis deals with the complexity of positional games, i.e. games in which two players take turns claiming unclaimed vertices of a hypergraph. In the most famous convention, Maker-Breaker, Maker wins if she manages to claim all the vertices of a hyperedge, otherwise, Breaker wins. In these games, there is always one player who has a winning strategy, and we study here the algorithmic complexity of determining which player it is, in different conventions and on different structures. This model of games is very general, and in the most recent studies, the hypergraph is an underlying structure of the game, which is played on a graph, called the board. In this context, the players take turns claiming edges of the graph and Maker wins if she manages to create some structure in the graph, such as a copy of some other graph, or a perfect matching. The focus of this manuscript is on the algorithmic complexity of different positional games in different conventions. In this manuscript, we present some results on different aspects of the complexity studies of positional games. First, we focus on the general complexity of the Avoider-Enforcer and Client-Waiter conventions. In both cases, we prove their PSPACE-completeness, even restricting the input to hypergraphs with small hyperedges. Then, we present complexity results on some of the most studied positional games, namely, the H-game and the perfect matching game, played in Maker-Breaker convention on the edge set of graphs. In both cases, we prove their PSPACE-hardness, and we provide some polynomial and FPT results for the H-game. Next, we switch to games on vertices, and we focus on the parameterized complexity of the Maker-Breaker domination game. We prove that it is W[2]-hard to know whether Dominator can build a dominating set in k moves. However, when considering graph parameters, we provide FPT algorithms for the modular-width, the size of a minimum feedback edge set, and the distance to cluster. Keeping the focus on games on vertices, we then switch the convention and consider the Maker-Maker convention of the domination game. We provide a polynomial-time algorithm for computing the winner of the Maker-Maker domination game on forests. Finally, we introduce scoring positional games as a way to extend positional games to a larger framework. Here, Maker aims to fill up as many hyperedges as possible, rather than just a single one. We prove that computing Maker's score is PSPACE-complete, even for rank 2 hypergraphs. We then provide a linear-time algorithm for computing the score on unions of paths and an FPT algorithm parameterized by the neighborhood diversity.
Cette thèse traite de la complexité des jeux positionnels, c'est-à-dire des jeux dans lesquels deux joueurs prennent à tour de rôle les sommets libres d'un hypergraphe. Dans la convention la plus célèbre, Maker-Breaker, Maker gagne s'il parvient à prendre tous les sommets d'une hyperarête, sinon Breaker gagne. Dans ces jeux, il existe toujours un joueur qui a une stratégie gagnante, et nous étudions ici la complexité algorithmique de déterminer de quel joueur il s'agit, dans différentes conventions et sur différentes structures. Ce modèle de jeu est très général, et dans les études les plus récentes, l'hypergraphe est une structure sous-jacente du jeu, qui se joue en réalité sur un graphe. Dans ce contexte, les joueurs prennent à tour de rôle des arêtes du graphe et Maker gagne s'il parvient à créer une certaine structure dans le graphe, telle qu'une copie d'un autre graphe cible ou un couplage parfait. Une part importante de l'étude est alors de considérer différentes classes de graphes comme plateau de jeux sur lesquels jouer. Tout d'abord, nous nous concentrons sur la complexité générale des conventions Avoider-Enforcer et Client-Waiter. Dans les deux cas, nous prouvons que calculer le gagnant dans l'une de ces conventions est PSPACE-complet, même en restreignant l'entrée à des hypergraphes à des hypergraphes de rangs 6. Ensuite, nous présentons des résultats de complexité sur certains des jeux positionnels les plus étudiés, à savoir le H-game et le jeu du couplage parfait, dans la convention Maker-Breaker. Dans les deux cas, nous prouvons que déterminer le gagnant est PSPACE-complet, et nous fournissons quelques résultats polynomiaux et FPT pour le H-game. Nous passons ensuite aux jeux sur les sommets, et nous nous concentrons sur la complexité paramétrée du jeu de domination dans la convention Maker-Breaker. Nous prouvons qu'il est difficile de savoir si Dominator peut construire un ensemble dominant en k coups. Cependant, en considérant certains paramètres de graphe, nous fournissons des algorithmes FPT pour la largeur modulaire, la taille d'un feedback edge set minimal et la distance aux clusters. Nous continuons l'étude des jeux positionnels sur les sommets, et considérons la convention Maker-Maker du jeu de domination. Nous fournissons un algorithme polynomial pour calculer le gagnant du jeu de domination sur les forêts dans cette convention. Enfin, nous présentons les jeux positionnels à score comme un moyen d'étendre les jeux positionnels à un cadre plus large. Ici, Maker cherche à remplir autant d'hyperarêtes que possible, plutôt qu'une seule. Nous prouvons que, dans le cas des hypergraphes 2-uniformes, le calcul du score optimal de Maker est PSPACE-complet dans la convention Maker-Breaker, mais linéaire pour la convention Maker-Maker. Enfin, nous apportons la valeur exacte du score optimale que peut obtenir Maker sur les chemins.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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